[单选题]

甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订单显示：每人各自订购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的种类数。每人订购的医疗器械种类数都未超过15类，并且两位负责人所订购的医疗器械台数不同，但都比自己的助手多购45台。问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？

A . 150
B . 170
C . 210
D . 240

参考答案： B

参考解析：

设甲负责人订购a种器械，则每种订购a台，共订购a²台；同理可设甲助手、乙负责人、乙助手分别订购b、c、d种器械，每种分别订购b、c、d台，则分别共订购b²、c²、d²台（其中a，b，c，d不超过15）。

方法一：
①算出负责人和助手订购总数的关系：
四人采购总数均为平方数，由“都比自已的助手多购45台”，得负责人和助手订购总数的关系为相差45的两个平方数；

②算出两公司订购总数：
由于每人订购的医疗器械种类数都未超过15类，通过枚举法，列举出1～15的平方数，分别为1，4，9，15，25......找出了49和4，81和36，这两组数据符合条件“负责人和助手订购总数的关系为相差45的两个平方数”，得到甲、乙两公司一共订购了49+4+81+36=170台医疗器械。

方法二：
①求出负责人和助手订购总数的情况：
由“都比自已的助手多购45台”，得a²-b²=c²-d²=45；
由平方差公式可将上式改写为（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=45；
根据“每人订购的医疗器械种类数都未超过15类”，可知a、b、c、d各不相同且均是不超过15的整数，根据倍数特性，
45=45×1=15×3=9×5；

②算出两公司订购总数：
若（a+b）=45，此时a+b=45，因a，b，c，d不超过15，则a+b≤30，不满足题意，排除；
故只有（15，3）、（9，5）满足题意。
当a+b=15，a-b=3，解得a=9，b=6；
当c+d=9，c-d=5，解得c=7，d=2。
则甲、乙两公司一共订购=a²+b²+c²+d²=9²+6²+7²+2²=170台。

故本题选B。
【2022-联考/海南-051】

视频解析：